今年这道高考物理的压轴题，竟然是一道“错题”？

返朴·

2025-06-24

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这道题给出的已知条件是相互矛盾的。

撰文 | 矩阵星（科普作者）

2025年的高考已经告一段落，在考生和家长等待分数出炉时，某地区高考物理卷的最后一题却引发了讨论。有人指出，这道压轴题是一道“错题”。

原题如下，感兴趣的朋友可以先花10分钟，自己动手做一做：

先给结论：这道题给出的已知条件是相互矛盾的。下面我们就来看一看这道压轴题究竟存在什么问题。

先来复习点高中物理知识

（如果你对自己的高中物理有信心，那么可以直接看后面的题目解答。如果你早已把高中物理知识还给了老师，可以借此机会重温一下课本。）

我们不妨先简单复习一些高中物理知识。高中物理学习的主要是经典力学，在这个框架下，祖师爷牛顿告诉我们，一个物体的运动状态是由它的初始状态和所受的力决定的。

也就是说，如果我知道了一个物体的初始信息，比如最开始的速度和位置，以及它的受力情况，那么后面的每一分每一秒，它在哪个位置、在以什么速度运动，我都会了如指掌。

举一个自由落体的例子：一个小球，一开始在半空中保持静止不动，距离地面20米，然后开始下落。只考虑小球受到地球的吸引力，即重力。

我们已知小球的初始运动状态（静止、离地20米）和受力（重力），那么也就知道了它在下落过程中每时每刻的状态。

牛顿还引入了一个强大的工具——数学。根据牛顿第二定律F=ma，我们不仅知道小球的运动状态是确定的，还能精确计算出每一秒小球的运动速度和下落距离、落地需要的时间等等。

比如，小球初始离地距离为20米，物体所受到的重力公式G=mg，它运动的加速度就是重力加速度𝑔。取𝑔=10𝑚/𝑠，根据匀加速运动的公式

，我们就能计算出小球经过2秒后会落地。

运动状态确定，不代表你能求出来

按照牛顿的理论，只要给出了物体的受力情况和初始状态，就可以知道物体后续的运动。但实际情况往往是，求解运动状态的数学方程过于复杂，无法给出精确的答案。

一个最典型的例子就是三体问题：假设宇宙中有三个运动的天体，只受到相互之间的万有引力作用。已知三个天体的初始位置和速度，求解它们的运动方程。

三体问题的示意图

三体问题的特殊情况在于，即使我们知道了这三个天体初始的位置、速度和受力情况，却因为数学方程过于复杂，导致问题在大多数情况下没有通用的解析解，即无法用一个精确的数学公式来描述它们的未来运动状态。

三体问题的运动方程

还有一种会在物理考题中出现的情况。高中生所学的数学知识相对较少，比如大多数考纲中都没有涉及微积分计算。然而，物理学中的很多运动模型都涉及到微积分，考生对于这类问题就会因为数学上的困难而无法求解出答案。

举个例子：一个物体在外力作用下从静止开始做直线运动，所受外力随位移的变化关系为F=kx，其中k为常量。已知物体质量为m，当物体的位移为

，求外力所做的功W。

这是一个变力做功的问题，如果高中生只用考纲里的知识、不使用微积分，求解起来就会比较麻烦。

这种情况下，为了让学生能够在考纲范围内解题，出题人有时会选择在题干中增加条件。这些条件是可以从题目已有信息中推导得出的，只是推导过程超出了考纲的范围。

比如在上述变力做功的问题中，出题人可以增加一个条件：“外力F在位移

内视为不变的平均力

，且

。”那么高中生就可以绕过变力做功需要的微积分，直接用已有的功的公式

得出答案。

然而，出题人好心给题目增加条件，方便给考生解题，也可能会出现一种失误，那就是增加的条件与物体的运动状态产生矛盾。这正是文章开头的压轴题存在的问题。

原题前两问的解答

有了上面的铺垫，我们来看一看文章开头那道物理题存在什么问题。

（如果不想看公式，可以跳过具体的解题过程，直接看关于最后一问的分析）

我们先根据题意，画出A、B在三个时间节点的位置示意图：（线段长度不完全成比例）

题目的第一问和第二问，考察B从起点到达P点的过程。

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第一问和第二问的解析

第一问，考察A、B组成的系统，在B运动至P点的过程中，运用动量守恒，可得：

第二问，系统不受外力，能量守恒，且电势能和距离成反比，可以求出A和B在的距离

：

对于A和B的位移关系，写出动量守恒的公式，在等式两边同乘（也可以使用质心的定义）：

再运用B抵达P点的几何关系：

代入之前求出的A和B的距离

，得到B的位移

：

条件矛盾的第三问

到了第三问，初看似乎没有什么问题，还是可以从动量和能量的角度列出方程。

考察系统初始和最后的状态，运用动量定理：

在恒力作用时间内，外力对系统做功是，运用能量守恒定律：

（或者考虑整个运动过程，因初末A、B距离相同，电势能相等，计算会更简便）

代入即得第三问的答案：

所以，这道题就这么结束了？并没有！

让我们考察这段时间内系统质心的运动情况。

注：质心是描述物体或系统质量分布平均位置的一个点。质心运动定理指出，系统的总外力等于系统的总质量乘以质心的加速度。

虽然质心的概念并未作为独立知识点在高中物理教材中明确出现，但相关内容可从牛顿运动定律推导得到，题目第二小问的解答中也体现了质心的思想。此处为了节省篇幅，直接使用了质心来解题。

质心仅受恒定外力F，做匀加速运动。结合上面已经计算出的F 和

，计算质心在这段时间内的位移：

质心的位移是

？不对劲！按照题目条件，在外力作用时间内，从B到达P点、再到A到达P点，根据质心的定义，质心的位移应该是：

从相同条件推导出的两个答案竟然不一样！哪里出了问题？

问题就在于，考虑实际的运动情况，题目中给出的条件是相互矛盾的。

在外力撤去时，题目中有四个已知条件：

①B的速度为

②A恰好运动到P点

③A的速度恰好为0

④A和B的距离恢复到

然而，为了求解外力F 和运动时间

，我们并不需要这么多条件！比如说，从①②③就已经可以推导出A和B最后的距离

，并不需要条件④再给出具体距离。参考上面列出的动量定理、能量守恒和质心运动方程：

共四个方程，解四个未知数

。经过亿点点复杂的运算，可以解得（舍去了负数解）：

这下可好，题目所给的条件④不仅是多余的，甚至与其他给定条件矛盾！

事实上，题目所给的4个条件中就是无法并存的！满足①②③，那么A和B最后的距离就不可能是

；满足①②④，那么A到达P点的速度就不可能是0，等等。

固然，在一些必须用超出高中物理考纲的知识才能解答的问题中，题目可以增加一些“多余”的条件，使得高中生能够作答。然而，设置新条件的前提应该是不与其他已知条件发生矛盾。这道高考压轴题就在这一点上出现了问题。

超定问题：方程太多了怎么办？

这道高考出现的给定条件过多的情况属于超定问题（Overdetermined Problem）。在数学或工程中，超定问题是指方程数量多于未知数个数，导致系统无精确解的问题。因为一个精确解必须同时满足系统中的每一个方程，而超定系统中的方程之间往往是相互矛盾的。

举一个非常简单的例子。假设我们有两个未知数x和y，同时有三个线性方程：

从方程1和方程2，我们能得到x=1和y=2，可是将这个答案代入x-2y=-3，和方程3的条件矛盾。这就是方程数量多于未知数个数，导致无法求解出未知数。

对于一个物理系统，当描述的独立方程（约束）数量多于系统中的未知量（自由度）数量时，该系统就是超定的。

换一种方法说，超定就是我们拥有的信息（比如题干给出的条件）超过了唯一确定系统状态所需的最小信息量。比如在压轴题的第三问中，如果我们知道了条件①②③，就已经能够确定A和B的距离，再给出条件④就会导致出现超定问题。

除了超定以外，还有恰定和欠定，分别指方程的数量等于和少于未知数的情况。恰定问题通常有且仅有一个唯一解，而欠定问题要么没有解，要么拥有无穷多个解。

超定系统和欠定系统看似“不完美”，但实际上在数据处理、信号处理、机器学习等领域广泛存在。比如在数据拟合或回归分析中，当我们拥有比模型参数更多的观测数据时，就可能形成一个超定系统。这意味着我们有足够多的信息来确定参数，甚至可能存在一些冗余信息，需要特定的方法（如最小二乘法）来找到“最佳”近似解，而不是一个精确解。

最小二乘法是超定系统的常用分析方法丨图片来源：wikipedia

举一个物理学的例子：通过自由落体运动，测量重力加速度𝑔。为了让测量更加精确，我们不会只测量一次，而是让小球从不同的高度下落，并分别测量其对应的时间。每一次测量都提供一个方程：

测量中，我们有n个方程，却只有𝑔一个未知数，这就是一个超定问题。显然，我们不能随意挑选一个测量值，而是需要通过对数据进行线性回归等操作，得到关于𝑔的最佳估计值，这就是求解超定系统的一个方法。

然而，需要强调的是，前面所说的高考压轴题中的超定问题，与实验数据处理中的超定有着本质区别。题目中出现的超定来源于已知条件本身存在的逻辑上的相互矛盾，进而导致题目不自洽。这种不自洽性并非在实验数据处理等场景中为了优化或近似求解而引入的冗余信息，两者存在本质的区别。

结语

高中物理试题中出现超定问题并非罕见，这通常是由于考生的知识范围受限，出题人为了让考生能够顺利解题而增加了额外的条件。然而，这很容易导致已知条件之间相互冲突，从而让考生得出多个“正确答案”，甚至无解。

本文经授权转载自微信公众号“科学大院”。